В электронной таблице частные решения дифференциальных уравнений можно находить приближенно, используя для этой цели специальные численные методы. При использовании численных методов решение дифференциальных уравнений dy/dx функция f(x) представляется в табличном виде как совокупность значений y_i и x_i . Наибольшее распространение имеют задачи Коши, в которых заданы начальные условия.

Наиболее простым методом для численного решения дифференциальных уравнений первого порядка y’=f(x) является метод Эйлера. Однако, в практических расчетах он дает значительную погрешность. Формула Эйлера имеет вид    На практике для повышения точности используется модифицированный метод Эйлера второго порядка, который имеет следующую формулу       , где h –шаг интегрирования.

 Пример 20. Решить дифференциальное уравнение вида y’=2x²+2y при начальных условиях x₀=0, y(x₀)=1 с шагом интегрирования h=0,1 на интервале [0,1]. Аналитическое решение этого уравнения y=1,5e^2x-x²-x-0,5.

Решение: 1. На рабочем листе в столбце А создайте последовательность чисел арифметической прогрессии с шагом 0,1 от 0 до 1(рис.31).

 2. В ячейку D4 занесите начальное значение y= 1

3. В столбце В будем выполнять вычисления по простому методу Эйлера, а в столбце D – по уточненному методу. В ячейку С5 запишите формулу для вычисления по методу Эйлера =D4+0,1*(2*A4^2+2*D4) и скопируйте эту формулу до строки 14.

 4. В ячейку D5 запишите формулу, реализующую пересчет в соответствии с формулой модифицированного метода Эйлера:

 =D4+0,5*0,1*(2*A4^2+2*D4+2*A5^2+2*C5).

Скопируйте эту формулу до строки 14, где значение x=1.

 5. В столбце В выполните расчеты по аналитической формуле с целью проверки полученного результата. В результате вычислений полученырезультаты, приведенные на рисунке 32.

Рисунок 31

Рисунок 32

Упражнение 22

1. Вычислите определенный интеграл

2. Определите стоимость перевозки 20 тонн груза по железной дороге на расстоя-ние 20 км при условии, что тариф перевозки одной тонны груза убывает на 5 рублей на каждом километре. Начальный тариф для первого километра составляет 150 рублей. Ответ 40000

3. Мощность y потребляемой городом электроэнергии выражается формулой

 где t – текущее время суток. Вычислите суточное потребление электроэнергии при а=15000 кВт, b= 12000 кВт.

4. Решите дифференциальное уравнение вида x²y’+y²=0 при начальных условиях y(x₀)=1 и x₀=-4 с шагом 0,1 на интервале [-4, 0].

5. Вычислить значение определенного интеграла Y = и построить график зависимости Y=f(x)