1.10. Решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов

Технология решения систем линейных уравнений для случая, когда m=n, рассмотрена в п.1.6. Однако в общем случае m может быть не всегда равно n. Возможны три случая: m<n, m= n и m>n.

При m<n, если система является совместной, то она не определена и имеет бесконечное множество решений.

 Если m>n и система совместна, то матрица А имеет по крайней мере m-n линейно независимых строк. В этом случае решение может быть получено отбором n любых линейно независимых уравнений и применением формулы X=A-1 х B.

Однако, при решении задачи в электронной таблице удобнее применить более общий подход - метод наименьших квадратов. Для этого обе части уравнения нужно умножить на транспонированную матрицу системы А^т : А^тАХ=А^тВ. Затем обе части уравнения нужно умножить на (А^тА)^-1 . Если эта матрица существует, то система определена. С учетом того, что (А^тА)^-1А^тА=Е, получаем решение системы в виде Х=(А^тА)^-1 А^тВ.

Рассмотрим технологию решения систем линейных уравнений методом наименьших квадратов на примере.

Пример 6. Решить систему

Решение:

 1. Введите значения элементов матрицы А в диапазон рабочего листа (А2:B4).

2. Введите значения элементов вектора В в ячейки рабочего листа, например D2:D4 (см рис.7).

3. Транспонируйте исходную матрицу, для чего выделите диапазон ячеек размерностью 3 х 2 (А6:C7), введите в него формулу = ТРАНСП(А2:В4) и нажмите комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter - в выделенном диапазоне будет вычислен результат транспонирования.

4. Вычислите произведение А^ТВ, для чего выделите диапазон из двух ячеек (Е6:Е7) и введите в него формулу МУМНОЖ(А6:C7;D2:D4).

5. Вычислите произведение А^ТА, для чего выделите диапазон (А9:В10) и введите в него формулу МУМНОЖ(A6:C7;А2:В4).

6. Выделите диапазон (D9:E10), введите в него формулу МОБР(А9:B10) для вычисления обратной матрицы (А^ТА)^-1

7. Для вычисления итогового результата -решения системы уравнений выделите диапазон (В12:В13) и введите в него формулу для умножения матриц (А^ТА)^-1 А^ТА МУМНОЖ(D9:E10;A9:B10). В ячейках В12 и В13 будет получен результат решения системы.

Рисунок 7

Упражнение 7. Решите в электронной таблице системы: